Родился 21 января 1923 года в Арагасском наслеге Мегинского района в семье бедного крестьянина. В 1932 году поступил в Тюнгюлюнскую школу сразу во второй класс. Школу окончил в 1942 году. До мобилизации работал в возведении автомобильной дороги между сёлами Майя и Борогонцы. В мае 1943 года был мобилизован, проходил службу в 177-ом миномётном полку Забайкальского фронта сначала заряжающим, потом наводчиком артиллерийского орудия. Во время службы на Дальнем Востоке участвовал в боестолкновениях против Японии в августе 1945 года. После окончания Второй Мировой войны с 1945 по январь 1947 года проходил службу в г. Пхеньян в 474-ом Краснознамённом зенитно-артиллерийском полку 5-ой армии сначала наводчиком, потом штабным секретарём. Получил личный знак благодарности за отличную службу от командующего советскими войсками в Северной Корее Г.Ф. Штыкова. В марте 1947 демобилизовался и вернулся домой. Прибыв на родную землю, проработал три года кладовщиком-кассиром в колхозе "Социализм суола", являлся пропагандистом местного политкружка. В 1951 году прошёл краткосрочные курсы по педагогике в Якутском и Намском педагогических училищах. С 1951 по 1957 годы работал военруком и учителем физкультуры в Тюнгюлюнской средней общеобразовательной школе. Начиная с 1957 года двадцать один год проработал учителем труда. За это долгое время награждён множеством похвальных листов и почётных грамот от районного комитета, исполнительного комитета районного совета и районного управления образования. Вошёл в Почётную книгу Тюнгюлюнской СОШ. А.Л. Габышев вступил в комсомол в 1943 году, в 1960 году активный член КПСС. Во время работы в Тюнгюлюнской СОШ оказал содействие в учреждении музея имени В.И. Ленина, пополнил коллекцию музея множеством экспонатов, организовывал работы в его рамках. Активно участвовал в партийной работе внутри школы, несколько лет проработал председателем контрольной комиссии по работе администрации.